Lineáris hálózat elemző program

1. Az elemzés elméleti háttere

1.1. Alaptörvények

Az egyenáramú hálózatok analizálásának módszerei az eredetileg tapasztalati úton meghatározott, de a Maxwell-egyenletekből is levezethető Ohm törvényére és a Kirchhoff-törvényekre alapulnak.

1.1.1. Ohm Törvénye

Ohm törvénye alapján egy vezetéken átfolyó áram erőssége arányos a végpontjaira kapcsolt feszültséggel:

Az R tényezőt ellenállásnak nevezzük, mértékegysége az Ohm [Ω]

Kirchhoff I. törvénye, vagy másképp a csomóponti törvény a töltés megmaradását fejezi ki: e szerint egy csomópontba beáramló töltések összege megegyezik a csomópontból kiáramló töltések összegével. Ha a csomópontba befutó ágak irányait úgy vesszük fel, hogy valamennyi a csomópontba mutasson, akkor az I. Kirchhoff-törvény képlete:

Kirchhoff II. törvénye, vagy másképp a huroktörvény a hurok feszültségegyensúlyát írja le: e szerint zárt hurokban a feszültségek összege nulla:

1.2 A hálózatanalízis módszerei

1.2.1 A vegyes módszer

Vegyes módszer használata esetén a Kirchhoff-egyenleteket alkalmazzuk a hálózat elemzésére. A módszer alkalmazásakor a hálózat egyes ágaiban folyó ágáramokat tekintjük ismeretlennek, az egyenleteket pedig a csomóponti- és a huroktörvény alapján írjuk fel. Tekintsük például az alábbi hálózatot:

A független csomóponti egyenletek száma a csomópontok számától eggyel kevesebb. Az ábrában az A, B, C csomópontokra a Kirchhoff I. törvénye alapján felírt csomóponti egyenletek:

Az I, II, III módon felvett hurkokban Kirchhoff II. törvénye és az Ohm-törvény alapján felírt hurokegyenletek:

I.:

II.:

III.:

A kapott összesen hat egyenlet az ismeretlenekben lineáris, független egyenletrendszert alkot, és mint ilyen, számtalan matematikai módszerrel megoldható.

1.2.2 Egyéb módszerek

A vegyes módszer alkalmazásának nagy hátránya, hogy igen sok egyenlethez vezet, aminek a megoldása különösen bonyolult hálózatoknál igen időigényes és számítógép segítsége nélkül való számolásoknál sok tévesztési lehetőséget ad. Ezért számos olyan módszert fejlesztettek ki, melyek a Kirchhoff-egyenleteken és a vegyes módszeren alapulnak, de alkalmazásukkal a megoldandó egyenletek száma kevesebb.

Ilyen módszerek például a hurokáramok módszere, a csomóponti potenciálok módszere, a hurokáramok módszere, vagy a különböző ekvivalens átalakítások alkalmazása. Ezen módszerek ismertetése az irodalomban megtalálható. Megjegyezzük, azért nem ezen módszereket használtuk, mert esetenként olyan intuíciót igényelnek, mely számítógépes programba nehezen építhető be, másrészt alkalmazásuknak gyakran olyan feltételei vannak, ami az elemzés során gyakran nem teljesül. Például a csomóponti potenciálok módszere megköveteli a feszültséggenerátorok áramgenerátorrá alakítását, ami a gyakorlatban nem, de elméleti példákban gyakran alkalmazott ideális generátor esetén nem végezhető el.

1.2.3 Az alkalmazott módszer

A program készítése során a hálózat elemzésére a vegyes módszert alkalmaztuk, egy kis változtatással. A változtatás oka az, hogy az áramgenerátorok szakadásnak tekinthetők, így az az ág, amiben áramgenerátor van, nem szerepelhet hurokegyenletben. Ilyenkor viszont a hurokegyenlet helyett az ad egy egyenletet, hogy ismerjük az ágáramot: nevezetesen egyenlő az áramgenerátor forrásáramával.

2. A hálózat adatainak tárolása

A hálózat adatainak tárolását, a hálózat módosítását és a képernyőn való megjelenítését a “Halozat“ osztály végzi. (osztály alatt az objektum-orientált programnyelvekben, ol. C++, JAVA osztályfogalmát kell érteni)

A hálózat csomópontokból és alkatrészekből (ellenállás, feszültséggenerátor, áramgenerátor, illetve rövidzár) áll. A csomópontok csak egy megadott rács rácspontjaiban helyezkedhetnek el, alkatrészek csak két csomópont között lehetnek. A grafikai megjelenítés egyértelműsége miatt az alkatrész két végpontját összekötő szakaszon nem lehet más csomópont.

A “Pont” osztály tárolja egy pont rácspontbeli helyét, valamint a grafikus megjelenítéshez szükséges információkat és eljárásokat.

Mivel az alkatrészek között az elemzést leszámítva csak az áramköri rajzban és a dimenzióban van különbség, ezért a “Rovidzar”, “Ellenallas”, ”FeszGenerator”, ”AramGenerator” osztályoknak közös ősosztálya van, a “Szakasz” osztály.

A “Szakasz“ osztály tárolja, hogy melyek a szakasz végpontjai, milyen az értéke (az ellenállásnak, generátoroknak a dimenzió nélküli numeikus értéke), a dimenziója, az elem neve, az irányítása. Ugyancsak tárol a grafikai megjelenítéshez szükséges információkat, illetve a megjelenítés egy részét is elvégzi, pl. a név kiíratását. Az alkatrész rajzának megjelenítését a gyermek osztályok, a “Rovidzar”, “Ellenallas”, ”FeszGenerator” és ”AramGenerator” végzik

A “Halozat“ osztály egy “Pontok” és egy “Szakaszok” tömböt tartalmaz. Tartalmazza a csomópontok és az egyes alkatrészek hálózathoz való hozzáadásának és elvételének függvényeit. Kezeli az egér hálózaton végzett műveleteit, és a megfelelő műveletsor végrehajtása esetén (alkatrész hozzáadásánál pl. az egyik csomópontból a másikba az egérgomb lenyomása melletti elmozdulással) meghívja a megfelelő hozzáadási ill. törlési műveletet. Azt, hogy az egérrel éppen milyen funkciót lát el, a vezérlő panelen lévő gombokkal lehet meghatározni.

3. Elemzés

Az elemzés az alábbi folyamatábra alapján zajlik (a folyamatábra egyes elemei később részletes bemutatásra kerülnek):

3.1. A csomópontok meghatározása

Azt a felvett pontot tekintjük csomópontnak, amelyhez legalább három szakasz kapcsolódik. Amelyikhez csak kettő tartozik, az csak egy egyszerű töréspont, amihez pedig még kettőnél is kevesebb, ott vagy a pont vagy egy alkatrész a levegőben lóg, vagyis nem megfelelő a hálózat. Ha nem találtunk legalább két csomópontot, az hiba.

3.2. Az ágak meghatározása

A csomópontok meghatározása után az ágakat kell meghatározni. Egy ág mindig két csomópont között húzódik.

Az ág meghatározásának első lépése a meglévő hálózat lemásolása egy ideiglenes hálózatba. Ezután kiválasztunk egy olyan pontot, ami az eredeti hálózatban csomópont.

Kiválasztjuk az adott pontból induló egyik szakaszt, majd a szakasz folytatását, és így tovább egészen addig, amíg el nem érünk egy olyan pontba, ami szintén csomópont az eredeti hálózatban. Az így kapott egymás utáni szakaszok alkotják az ágat.

Ha ezt az ágat töröljük az ideiglenes hálózatból, akkor addig folytathatjuk az algoritmust, amíg az ideiglenes hálózat el nem fogy és valamennyi ág meghatározásra nem kerül.

3.3. A Hurkok meghatározása

A hurokegyenletek felírásához a hurkok meghatározása szükséges. Első lépésként le kell másolni a hálózatot egy ideiglenes hálózatba, és eltávolítani belőle az áramgenerátorokat, melyek nem szerepelhetnek hurokegyenletben.

Eltávolítjuk az ideiglenes hálózatból a levegőben lógó alkatrészeket. Ezután kiválasztunk egy tetszőleges szakaszt, majd egy olyan szakaszt, amelyik kapcsolódik az előzőhöz, egy újabb szakaszt, amely az előzőhöz kapcsolódik és így tovább, egészen addig, a amíg a “tört vonal” vissza nem érkezik saját magába Ez a visszaérkezés nem feltétlenül az első pontba történik. Az alábbi stilizált ábrán például az A pontból indulva a C pont lesz az, ahol záródik a „tört vonal”:

A hurokból kitöröljük a hurok kezdetén felvett felesleges részeket (Az ábrán az AB,BC szakaszokat). A hurokban biztosan van eredeti hálózatbeli csomópont, de nem biztos, hogy a legelső. A hurkot a benne lévő pontok rotációjával úgy módosítjuk, hogy a kezdőpont eredeti csomópont legyen.

Eltávolítunk az ideiglenes hálózatból egy olyan szakaszt, ami a hurok része volt, majd elvégezzük az egyszerűsítést, mely szerint is a “lógva maradt” alkatrészeket eltávolítjuk a hálózatból. A folyamatot ismételten végrehajtjuk egészen addig, amíg el nem fogy az ideiglenes hálózat. Mivel mindig eltávolítunk a hálózatból egy olyan szakaszt, amely az utolsó hurok része volt, a kiválasztott hurkok függetlenek lesznek.

3.4. Az egyenletek felírása és megoldása

A csomópontok, ágak és hurkok meghatározása után a csomóponti és hurokegyenletek felírhatók. Áramgenerátorok jelenléte esetén az egyenletrendszerhez tartoznak még azok az egyenletek is, melyek szerint az áramgenerátor árama egyenlő az ágárammal.

Az egyenleteket mátrix formában felírjuk, majd az egyenletrendszert a determinánsok módszerével oldjuk meg.